1. 서론

컴퓨터와 인터넷이 그리 활발하게 사용되지 않던 시절인 1990년대에 우리 나라에서 상당히 많이 유행했던 단어들 중의 하나가 '퍼지**' 이었다. 예를 들면, 퍼지 밥솥, 퍼지 세탁기, 퍼지 냉장고와 같이 우리가 일상 생활에서 자주 사용하는 가전 제품에 '퍼지'를 붙혀 광고 및 판매된 제품들이 꽤 되었기에 우리는 퍼지 이론(Fuzzy Theory)에 대하여 잘 모르지만 퍼지에 대하여 그리 생소한 것만은 아니라 본다. 요즈음 시대의 인터넷 검색어 인기 순위를 메긴다면 그 당시에 있어서 가장 인기 있는 검색어가 단연 '퍼지'라고 단정지어도 과언이 아닐 것으로 생각된다.

이와 같이 '퍼지'가 최고 유행어였던 당시에 많은 사람들에게 받은 질문중의 하나가 '퍼지 밥솥을 하나 구입하려고 하는데 도대체 '퍼지'가 뭐에요?, 혹시 밥을 푹 퍼지게 하는 그런 밥솥을 말하는 것인가요?'라고 하여 배꼽이 빠질 정도로 웃었던 일도 있다. 또, 퍼지 이론 및 응용을 연구하는 모임에 참석하여 연회 시간이 되면 잔을 들고 건배를 제창하면서 농담 삼아 '이 모임의 멤버들은 술을 퍼지도록 마실 줄 알아야 합니다.'라고 하여 웃음을 산 적도 있었다.

이러한 퍼지 이론은 우리 주위의 여러 분야(예:가전 제품, 지하철의 자동운전, 공정제어, 무인 헬리콥터 등등)에서 성공적으로 이용되고 있으며 학계 및 산업계 관계자들의 퍼지제어를 포함한 퍼지이론 전반 및 이의 응용에 대한 관심을 고조시키고 있다.

그러면 "도대체 '퍼지'란 무엇인가?"하는 의문이 들게 된다. 이에 대한 답을 알아 보기 전에 도대체 퍼지 이론에서는 무엇을 대상으로 다루고 있는가하는 문제를 고려해 보기로 한다.

퍼지이론에서는 크게 두 종류의 불확실성(uncertainty), 즉 확실한 경계가 규정되지 않는 개념의 불확실성(vagueness)과 여러 가지의 가능성이 있는 경우 어느쪽에 속할 지 특정지어 지지 않는 개념의 불확실성(ambiguity)을 서로 다른 방향으로 다루고 있다[27]. 전자는 주로 퍼지집합론(fuzzy set theory)에서, 그리고 후자는 퍼지 측도론(fuzzy measure theory)에서 다루어 진다.

퍼지 이론, 아니 퍼지 집합론(Fuzzy Set Theory)이라는 것은 미국 캘리포니아의 U.C. Berkeley에 교수로 재직중인 이란계의 자데 교수(Lofti A. Zadeh)가 1965년에 Information and Controls라는 논문지의 제 8권 338~353쪽에 발표한 'Fuzzy sets'이라는 논문에 그 뿌리를 두고 있다. 논문 제목에서도 알 수 있듯이 퍼지 이론은 그 출발이 집합에 관한 수학적 이론으로 출발하였으며 그 후 많은 사람들의 노력에 의하여 다양한 분야에서 응용되게 되었고 그 중의 한 분야가 가전제품에의 응용이라 할 것이다.

퍼지(Fuzzy)란 말의 뜻은 복숭아의 껍질 부분에 나 있는 아주 미세한 솜털을 의미하는 단어로 사용되어 왔으나, 최근에에는 퍼지 이론의 발전과 더불어 원래의 의미 보다는 복숭아의 솜털처럼 경계가 애매하게 이루어져 있어 어디까지가 경계인지를 확실하게 알 수 없는 상황에 대한 표현, 즉, '애매하다' '모호하다' 라는 뜻으로 널리 사용되고 있다.

퍼지 집합에 관하여 자세히 알아 보기 전에 퍼지 이론이 탄생하게 된 에피소드 하나를 소개하기로 한다. 뉴톤이 사과 나무 밑에서 만유인력의 법칙을 발견하였듯이, 당시 시스템 및 제어 분야에서 상당한 명성을 지니고 있던 자데 교수가 퍼지 이론을 처음 생각하게 된 재미있는 사연이 전해지고 있다. 즉, 옆 집에 살고 있는 아주머니보다도 훨씬 美人(주관적? 필자의 2002년 확인 결과로도 미인은 미인임.)인 자데 교수 부인의 미모를 수학적으로 표현하고자 노력 하였는데 기존의 수학적 도구를 가지고는 잘 표현이 안되기에 다른 방법을 모색한 결과 지금의 퍼지 이론을 제안하게 되었다는 에피소드가 전해져 온다.

퍼지 집합에 관한 이해를 돕기 위하여 다음 문제를 생각해 보기로 한다.

[문] 주사위를 던져 나오는 눈의 값의 집합, X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(문1) 홀수의 집합 O를 구하시오.
(문2) 짝수의 집합 E를 구하시오.
(문3) 큰 수들의 집합 L을 구하시오.
(문4) 작은 수들의 집합 S를 구하시오.

위의 문제 1~4중에서 문제 1 및 2에 대한 답은 O={1, 3, 5}, E={2, 4, 6}과 같이 쉽게 얻어진다. 그러나 문제 3 및 4에 대하여는 도대체 '큰 수' 혹은 '작은 수'라는 것이 어디까지를 말하는지 명확하게 나타나 있지 않기에 기존의 집합론을 사용하여서는 답을 구할 수 없게 된다. 이는 다음 절에서 설명하는 어떤 원소가 주어진 집합에 관한 소속정도를 나타내는 특성함수 혹은 소속도 함수를 정의하게 되면 쉽게 표현할 수 있음을 알 수 있다.

결론을 미리 요약하여 말하면 기존의 집합론('고전적 집합론'이라 부름)에서는 어떤 원소가 주어진 집합에 속하는 정도를 두개의 값, 즉 {0, 1} 값들중의 하나만(0 혹은 1)을 선택하여 할당하도록 정의되어 있다. 그러나, 퍼지 집합론에서는 이 값을 [0, 1], 즉 0부터 1까지의 어느 실수값을 할당하므로 그 소속 정도를 보다 상세하게 표현할 수 있는 것을 알 수 있다. 이를 바탕으로 이야기 한다면 자데 교수의 퍼지 집합에 관한 기본 아이디어는 소속도를 나타내기 위한 값의 범위를 나타내는 집합 기호 즉, 중괄호{}를 대괄호[]로 변환한 것이라 요약할 수 있을 것이다.

이와 같은 집합 표현법을 바탕으로 위에서 나타낸 집합을 다시 표현 하면 어떤 집합 A = {(원소, 그 원소가 집합 A에 속하는 정도)} 혹은 B = {(그 원소가 집합 A에 속하는 정도/원소)} 와 같이 표현할 수 있다. 앞의 표현 B에서 '/'는 나눗셈을 정의하는 기호가 아니라 단지 어떤 원소가 주어진 집합에 소속는 정도를 나타내는 기호임을 주의 해야만 한다. 예를 들면, 위의 E = {2, 4, 6} = {0/1, 1/2, 0/3, 1/4, 0/5, 1/6} 그리고 L = {0.0/1, 0.0/2, 0.2/3, 0.5/4, 0.7/5, 1.0/6}로 나타낼 수 있다. 여기서 소속 정도를 나타내는 소속정도값은 주어진 상황에 적합하도록 임의로 설정할 수 있는 값임을 기억해 주기 바란다.

이와 같이 퍼지 집합에서는 기존의 집합론이 갖고 있는 표현의 경직성을 약간 완화하여 정립한 수학적 이론이지만 퍼지 집합의 애매성에 대한 표현능력, 특히 인간이 사용하는 자연언어(Natural Language)가 내포하고 있는 애매성에 대한 표현력이 매우 우수하기에 이를 바탕으로 다양한 분야에서 널리 활용되고 있다고 본다. 퍼지 집합에 관한 이론에 바탕을 둔 퍼지 연산, 퍼지 논리 및 이들의 응용에 관하여는 다음에 자세히 다루기로 한다.

다시 정리하면, 퍼지집합론은 인간의 인식, 사고, 판단 및 언어(자연언어)등에서 볼 수 있는 불확실성(vagueness)을 정량적이며 합리적으로 처리하는 수학적 이론으로, 1965년 미국 캘리포니아 대학의 자데(L. A. Zadeh) 교수에 의하여 제창되었다[1]. 그 후, 퍼지집합에 근거한 퍼지논리(fuzzy logic) 및 근사추론(approximate reasoning) 방법들이 제안되었으며, 이를 바탕으로 여러 분야에서 응용에 관한 연구개발이 이루어 지고 있다. 그 중, 1970년대 중반에 시작되어, 80년대의 급격한 발전을 거쳐, 90년대에 들어 꽃을 피우고 있다고 하여도 과언이 아닌 퍼지제어는 퍼지이론의 대표적 응용 분야라 할 수 있다.

이와는 별도로 퍼지 측도(Fuzzy Measures)는 1972년 일본 동경공업대학의 수게노 미찌오(菅野道夫, Michio Sugeno) 교수[2]에 의하여 일본의 計測自動制御學會 論文集 제8권 218~226쪽에 '퍼지측도 및 퍼지적분' 라는 제목으로 발표된 비가법적 집합함수(nonadditive set function)로서, 고전적 측도(예:확률)의 정의 중 가법성(additivity)을 제외시킨 측도로, 퍼지집합론이 고전적 집합론의 확장인 것과 마찬가지로 퍼지측도 또한 고전적 측도론의 확장으로 볼 수 있다. 같은 논문에서 수게노 교수는 퍼지 적분, 즉, 수게노 적분(Sugeno integral)을 제안하였다. 그 후 퍼지측도 및 이에 대한 적분인 퍼지적분은 주로 인간의 주관적 평가 문제 혹은 시계열 모델 등등에 응용되어 좋은 결과를 보여 주고 있다.

동경대학교 물리학과를 졸업한 수게노 교수는 당시 자데 교수에 의하여 제안된 퍼지 집합론을 연구하던 동경공업대학의 테라노(Terano) 교수의 지도하에서 퍼지 이론을 연구하던 중 다음과 같은 현상의 문제에 봉착하고 이를 해결할 수 있는 수학적 도구를 찾으려고 노력하게 된다.

[문] 어떤 숙련된 기술자가 있어 오른손 만으로는 단위 사간당 제품 2개를 생산하고, 왼손만으로는 1개를 생산할 수 있다. 이러한 경우에 오른손과 왼손을 둘 다 사용하여 제품을 생산하는 경우의 생산량을 구하시오.

(답1) 3 = 1 + 2. (오른손과 왼손이 서로 독립적을 작용하여 서로에게 아무런 영향을 주지 않음)
(답2) 0 < 1 + 2. (오른손과 왼손이 서로 방해가 되어(상쇄적 작용) 생산량이 어느 한 손만을 사용한 경우보다 적음)
(답3) 5 > 1 + 2. (오른손과 왼손이 서로 도와 (상보적 작용) 생산량이 각각의 손만을 사용하여 더한 경우보다 많음)

위와 같은 현상은 일상생활속에서도 쉽게 발견할 수 있게 된다. 즉, 어떤 사람과 같이 일을 하면 각자 하는 정도의 결과만을 내고, 성격이 잘 맞지 않은 사람과 일을 하면 결과는 형편 없이 나빠지는 경우가 있으며, 이와는 달리 마음이 잘 맞는 사람과 같이 일을 하면 각자 일을 할 때보다 몇배의 성과를 거두는 경우도 있게 된다.

위의 답1의 경우는 기존의 확률을 포함하는 측도론(가법성(additivity)을 기반으로 하는 고전적 측도론)에서 잘 다루어 질 수 있지만, 답2 및 3의 경우에는 고전적 측도를 사용하여서는 답을 설명할 수 없게 된다. 이러한 퍼지 측도론의 기본 아이디어는 기존의 측도론에서 사용되던 등호 즉, '='을 등호를 포함하는 부동호, 즉, '<, =, >' 중의 하나로 대치한 것이라 요약할 수 있을 것이다.

이하에서는 앞에서 언급한 퍼지이론의 두 가지 큰 부류인 퍼지집합론과 퍼지측도 및 퍼지적분의 기본개념 및 관련이론을 간략히 소개하기로 한다.

▶ 2. 퍼지 집합