2. 퍼지 집합 (Fuzzy sets)

앞에서 우리는 퍼지 집합의 탄생과 발전에 대하여 간략하게 살펴 보았으며, 퍼지 집합이 다루는 불확실성이 무엇인지에 대하여도 알아 보았다. 여기에서는 퍼지 집합을 수학적 도구를 이용하여 보다 명확하게 정의하기로 한다. 그에 앞서 다른 몇 가지의 예를 통하여 퍼지 집합이 표현하고자 하는 불확실성, 즉 애매성(혹은 모호성 Vagueness)에 대한 이해를 보다 확실히 해 둘 필요성이 있다고 본다. 퍼지 집합이 다루고자 하는 불확실성을 이해한다면 보다 쉽게 퍼지 이론을 이해할 수 있으리라 판단된다.

[예1] 동전을 던지면 앞면이 나올 것인가 아니면 뒷면이 나올 것인가?

[예2] 주사위를 던져 나오는 수는?

[예3] 내일의 날씨는?

[예4] 이번 주 로또 복권 1등에 당첨될 것인가?

위의 [예1]~[예4]에는 어떤 공통적인 불확실성이 내포되어 있다. 즉, 동전을 던졌을 때 나오는 면이 앞면 아니면 뒷면임에는 틀림 없지만 던지기 전에는 앞면인지 뒷면인지 확신 할 수 없다. 그러나, 동전을 던지고 나면 앞면인지 아니면 뒷면인지가 명확하게 되므로 전에 존재했던 불확실성이 소멸되게 된다.

[예2]에서도 마찬가지로 주사위를 던지기 전에는 1부터 6까지의 수 중에서 어느 수가 나올지 알 수 없다. 그러나, 주사위를 던지면 어떤 하나의 수가 나오게 되므로 이전에 어느 수가 나올 것인가 하는 불확실성이 사라지게 된다.

내일의 날씨에 대한 불확실성도 내일이 되면 날씨가 어떤지 알 수 있으므로 소멸되며, 로또 또한 주말이 되면 당첨 번호가 발표되므로 어떤 번호가 1등인지에 대하여 가질 수 있었던 불확실성이 소멸된다.

이와 같은 불확실성은 우연성을 수반하는 다시 말하면 우연성으로부터 기인하는 불확실성으로 어떠한 시행을 하게 되면 존재하던 불확실성이 사라지게 되며, 이에 존재하는 불확실성은 확률 측도(Probability measures)로 측정할 수 있다.

그러나 아래에 든 예에 존재하는 불확실성은 위에 존재하는 우연성으로부터 기인하는 불확실성과는 전혀 다른 불확실성이 존재한다.

[예5] 2002년 월드컵 당시, 서울시청 앞 광장에 모인 10만명중에서 젊은이들의 수는?

[예6] 영남대학교에 재학중인 전체 학생중에서 키가 큰 학생의 수는?

[예7] 2004년말 기준으로 전국의 4년제 대학교의 학과중에서 취업률이 높은 학과는?

[예8] 반신욕을 하기 위해서는 욕조에 목욕물을 따끈하게 맞춘 후...

[예9] 빠르게 질주하는 자동차를 바라보며...

[예10] 멀리서 친구가 찾아 오면...

위의 [예5]~[예10]에 어떤 문제점이 내포되어 있는지 하나 하나 살펴 보도록 하자.

[예5]에 있어서는 '젊은이'라는 말이 몇살부터 몇살까지를 젊은이로 할 것인지에 명확한 경계가 주어져 있지 않으므로 광장에 모인 젊은이의 수를 명확하게 세는 것은 불가능하다고 본다.

[예6]에 있어서는 '크다'라는 말이 몇cm부터 몇cm까지를 가리키는 것인지에 명확한 경계가 주어져 있지 않으므로 키 큰 학생수를 명확하게 세는 것은 불가능하다고 본다.

[예7]에 있어서는 '높다'라는 말이 몇%부터 몇%까지를 높다라고 할 것인지에 명확한 경계가 주어져 있지 않으므로 취업률이 높은 학과를 선정하는 것은 어렵다고 할 수 있다.

[예8]에 있어서는 '따끈하게'라는 말이 몇도부터 몇도까지를 따끈하다고 할 것인지에 명확한 경계가 주어져 있지 않다.

[예9]에 있어서는 '빠르게'라는 말이 시속 몇km부터 몇 km까지를 빠르다라고 할 것인지에 명확한 경계가 주어져 있지 않다.

[예10]에 있어서는 '멀리서'라는 말이 몇 km부터 몇 km까지에서 온 친구를 말하는 것인지에 명확한 경계가 주어져 있지 않다.

위의 예에서 살펴 보았듯이 인간이 사용하는 자연언어(Natural Language) 중에는 '넓다', '빠르다', '젊다', '비싸다', '크다' 등등에서와 같이 그 용어를 규정하는 경계가 불분명하여 어떤 확실한 요소 혹은 사건이 그 경계가 불분명한 집합에 속하는지 아니면 속하지 않는지를 명확히 정할 수 없는 경우가 많다. 이러한 경우에, 다음과 같이 생각하면 어떨까 하는 생각이 든다. 그럼에도 불구하고 인간은 자연언어를 사용하여 큰 무리 없이 의사를 전달하곤 한다. 이와 같이 어떤 경계가 분명한 요소가 경계가 불분명한 집합에 속할 가능성을 0에서 1 사이의 값으로 나타낸다면 보다 편리하지 않을까 하는 생각을 가질 수 있을 것이다.

즉, 어떤 구성 요소가 있어 그것이 그들의 모임에 속하는 정도를 단지 속한다(이것을 '1'로 나타냄) 혹은 속하지 않는다(이것은 '0'으로 나타냄)라 하지 말고 그 구성 요소가 갖는 특성에 따라서 속하는 정도를 0부터 1까지의 숫자로 나타낸다면 좋지 않을까 하는 생각이다. 위에서 설명한 젊은이 문제를 구체적 예로 든다면, 20세부터 30세 까지는 확실히 젊은이라 할 수 있으므로 여기에는 속하는 정도를 '1'로 16세부터 19세까지 그리고 31세부터 35세까지는 '0.8'로, 13세부터 15세까지 그리고 31세부터 35세까지는 '0.5'로 기타는 모두 '0'으로 한다면 어떻게 될 것인가.

즉, 기존의 집합론('고전적 집합론'이라 부름)에서는 어떤 원소가 주어진 집합에 속하는 정도, 혹은 속할 가능성(Possibility)을 두개의 값, 즉 {0, 1} 값들중의 하나만(0 혹은 1)을 선택하여 할당하도록 정의되어 있다. 그러나, 퍼지 집합론에서는 이 값을 [0, 1], 즉 0부터 1까지의 어느 실수값을 할당하므로 그 소속 정도를 보다 상세하게 표현할 수 있는 것을 알 수 있다. 앞에서도 이야기 한 바와 같이 퍼지 집합에 관한 기본 아이디어는 소속도(Degree of Membership)를 나타내기 위한 값의 범위를 나타내는 집합 기호 즉, 중괄호{}를 대괄호[]로 변환한 것이라 요약할 수 있을 것이다.

이와 같은 집합 표현법을 바탕으로 위에서 나타낸 집합을 다시 표현 하면 어떤 집합 A = {(원소, 그 원소가 집합 A에 속하는 정도)} 혹은 B = {(그 원소가 집합 A에 속하는 정도/원소)} 와 같이 표현할 수 있다. 앞의 표현 B에서 '/'는 나눗셈을 정의하는 기호가 아니라 단지 어떤 원소가 주어진 집합에 소속는 정도를 나타내는 기호임을 주의 해야만 한다. 예를 들면, 위의 E = {2, 4, 6} = {0/1, 1/2, 0/3, 1/4, 0/5, 1/6} 그리고 L = {0.0/1, 0.0/2, 0.2/3, 0.5/4, 0.7/5, 1.0/6}로 나타낼 수 있다. 여기서 소속 정도를 나타내는 소속정도값은 주어진 상황에 적합하도록 임의로 설정할 수 있는 값임을 기억해 주기 바란다.

이와 같이 퍼지 집합에서는 기존의 집합론이 갖고 있는 표현의 경직성을 약간 완화하여 정립한 수학적 이론이지만 퍼지 집합의 애매성에 대한 표현능력, 특히 인간이 사용하는 자연언어(Natural Language)가 내포하고 있는 애매성에 대한 표현력이 매우 우수하기에 이를 바탕으로 다양한 분야에서 널리 활용되고 있다고 본다. 퍼지 집합에 관한 이론에 바탕을 둔 퍼지 연산, 퍼지 논리 및 이들의 응용에 관하여는 다음에 자세히 다루기로 한다.

다시 정리하면, 퍼지집합론은 인간의 인식, 사고, 판단 및 언어(자연언어)등에서 볼 수 있는 불확실성(vagueness)을 정량적이며 합리적으로 처리하는 수학적 이론으로, 1965년 미국 캘리포니아 대학의 자데(L. A. Zadeh) 교수에 의하여 제창되었다[1]. 그 후, 퍼지집합에 근거한 퍼지논리(fuzzy logic) 및 근사추론(approximate reasoning) 방법들이 제안되었으며, 이를 바탕으로 여러 분야에서 응용에 관한 연구개발이 이루어 지고 있다. 그 중, 1970년대 중반에 시작되어, 80년대의 급격한 발전을 거쳐, 90년대에 들어 꽃을 피우고 있다고 하여도 과언이 아닌 퍼지제어는 퍼지이론의 대표적 응용 분야라 할 수 있다.

아래에서는 수학이라는 도구를 도입하여 퍼지 이론을 정리 하기로 한다.

▶ 3. 퍼지 집합과 퍼지 논리